证明 容易猜到当x=y=z=√(1/3)时， x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)取得最小值(3√3)/2。 据柯西不等式得: [x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)]*[x^3*(1-x^2)+y^3*(1-y^2)+z^3*(1-z^2)] ≥(x^2+y^2+z^2)^2=1。
故只需证明 x^3*(1-x^2)+y^3*(1-y^2)+z^3*(1-z^2)≤2/(3√3) (1) (1) 2/(3√3)+x^5+y^5+z^5≥x^3+y^3+z^3 (2) 由均值不等式得: 2x^2/(3√3)+x^5≥3*{[x^2/(3√3)]^2*x^5}^(1/3)=x^3; 3-1) 2x^2/(3√3)+z^5≥3*{[z^2/(3√3)]^2*z^5}^(1/3)=z^3; (3-2) 2y^2/(3√3)+y^5≥3*{[y^2/(3√3)]^2*y^5}^(1/3)=y^3 (3-3) (3-1)+(3-2)+(3-3)即得(2)式。
下面给出第二种证法: 求x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2) 的最小值。只需证: x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)≥(3√3)/2。 (1) 因为x,y,z为正数，所以 x/(1-x^2)-(3√3)x^2/2=x(√3*x-1)^2*(√3*x+2)/[2(1-x^2)]≥0 故得: x/(1-x^2)≥[(3√3)/2]*x^2 (2) z/(1-z^2)≥[(3√3)/2]*z^2 (3) t/(1-y^2)≥[(3√3)/2]*y^2 (4) (2)+(3)+(4)得: x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)≥[(3√3)/2]*(x^2+y^2+z^2)=(3√3)/2。
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设x,y,z为正数，满足:x^2+y^2+z^2=1，求x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2) 的极值。 解 因为0=3√3x^2/2, 同理 y/(1-y^2)>=3√3y^2/2,z/(1-z^2)>=3√3z^2/2, x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)>=(3√3/2)(x^2+y^2+z^2) =3√3/2。
当且仅当x=y=z=√3/3时,上式取等号。因此x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)的最小值为3√3/2。 当x->1时,x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)->正无穷大,因此x/(1-x^2)+y/(1-y^2)+z/(1-z^2)的最大值不存在。
注记:极值的概念与最值的概念有很大的差别,而且多元函数的极值的求法非常复杂,它已不属于中学数学的范畴,故这里我们只讨论最值的求法。
问：求极值?求函数f(x)=sinx+cosx在[0,2π]上的极值?
答：f(x)=sinx+cosx =√2(√2/2*sinx+√2/2*sinx) =√2[sinxcos(pi/4)+cosxsin(pi/4)] =√2sin(...详情>>
答：详情>>
