提供另外一种方法求最大值 【补充回答】哪些解题步骤中体现了a^3+b^3+c^3≥3abc的公式？ 我这里第二行到第三行使用了ABC≤[(A+B+C)/3]^3，即“均值不等式” (A+B+C)/3≥(ABC)^(1/3)。 而a^3+b^3+c^3≥3abc是“均值不等式”的变形。 正数A、B、C的算术平均值为(A+B+C)/3，几何平均值为(ABC)^(1/3)， 所谓【均值不等式】就是【正数的算术平均值不小于几何平均值】即(A+B+C)/3≥(ABC)^(1/3)， 如果记A=a^3，B=b^3，C=c^3，就得到【均值不等式】的等价变形a^3+b^3+c^3≥3abc。 所以【a^3+b^3+c^3≥3abc】和【(A+B+C)/3≥(ABC)^(1/3)】以及我在第二行到第三行使用的【ABC≤[(A+B+C)/3]^3】是一回事。
可以参考前两天做过的一题：
借用楼上的图
由于圆锥的侧面展开图是扇形, 所以“怎样下料”意求其侧面展开扇形的中心角α, 设圆锥的底面半径为r, 高为h, 所需扇形的中心角为α, 则
则 2πr=αR ==> r=αR/2π
又
h=√(R²-r²)=√[R²-(Rα/2π)²]=R√(4π²-α²)/2π
故
`V²=R⁶/(24π²)²·α²·α²·(4π²-α²)
=1/2·R⁶/(24π²)²·α²·α²·(8π²-2α²)
≤1/2·R⁶/(24π²)²·{[α²+α²+(8π²-2α²]/3}³
=4π²R⁶/243
当且仅当α²=8π²-2α², 即α=2π√6/3时容积取最大值。
也就是割去的扇形圆心角为θ=2π-2π√6/3=2π(1-√6/3)时有最大容积。
Vmax=2πR³√3/27
。
如图设剩余部分扇形的圆心角为α，圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V， ∴割去部分扇形的圆心角为2π-α 根据勾股定理：r^2+h^2=R^2 ∴V=1/3πr^2h=1/3π(R^2-h^2)h=1/3πR^2h-1/3πh^3(0＜h＜R) 求导V′=1/3πR^2-πh^2． 令V'=0，即 1/3πR^2-πh^2=0，解得 h=√3/3R 当 0＜h＜√3/3R时，V'＞0． 当 √3/3R＜h＜R时，V'＜0． ∴h=√3/3R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值 把 h=√3/3R代入r^2+h^2=R^2得 r=√6/3R 由Rα=2πr，得 α=2√6/3π ∴θ=2π-2√6/3π ∴圆心角θ为2π-2√6/3π弧度时，漏斗容积最大
问：从一个直径是1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的扇形
答：1÷2＝0.5（米） 0.5×0.5×3.14＝0.785（平方米） 90÷360＝1／4 0.785×1-1/4＝0.58875（平方米）详情>>
答：详情>>
