设p为三角形ABC内一点
设p为三角形ABC内一点,求证<PAB <PBC <PCA中至少有一个角小于或等于30度设p为三角形ABC内一点,求证<PAB <PBC <PCA中至少有一个角小于或等于30度
证明:不妨设∠A,∠B,∠C都大于30°(因为如其中有一个角度不大于30°,结论已成立了),且满足∠C≥∠A,∠C≥∠B(如不满足,可轮换∠A,∠B,∠C使∠C为最大角之一,且轮换后不会影响结论的真假)。 这样的三角形如下图所示。其中: ∠EAB=∠FCA=30°,G为AE与CF的交点。
在直角坐标系下,若A为原点,AB为x轴方向,则△ABC各点的坐标如下: A:(0,0),B:(b,0),C:(a,h),G:(xg,yg),其中 0<a<b,0<h。 根据直线方程,不难求出G点的坐标值: xg=√3(a^+h^)/4(a^表示a 的平方,h^表示h 的平方,下同) yg= (a^+h^)/4 令α=∠GBC 则tg(α)=(k1-k2)/(1+k1k2),其中 k1=(a^+h^)/[√3(a^+h^)-4ah]为GB的斜率 k2=h/(a-b) 为CB的斜率 令⊿=[√3(a^+h^)-4bh](a-b)+ (a^+h^)h 由k1<0,k2<0可推得0<⊿ 经计算化简得 tg(α)=(1/√3){1-[(a-b/2)^+(√3b/2-h)^](4h/⊿)}≤1/√3 得α≤30°,即∠GBC≤30° 如果P点在△GAB(红色三角形)中(包括边AG),由于∠GAB=30°得 ∠PAB≤30° 如果P点在△GCA(蓝色三角形)中(包括边CG),由于∠GCA=30°得 ∠PCA≤30° 如果P点在△GBC(红色三角形)中(包括边BG),由于∠GBC≤30°得 ∠PBC≤30° 综合上述,设P为三角形ABC内一点,则∠PAB,∠PBC,∠PCA中至少有一个角小于或等于30°。
最后谢谢国宝大熊猫4912出的好题。
反证法来解!
看来我该收回我在评论中的话了,正三角形 2。普通三角形 ①先看正三角形如图一:(部分字母图中未标) 我们知道当P为中心时 )即使交于一点也一样 从①中我们知道绿蓝紫的区域里不会存在我们寻找的对象,线上也是。 那中间的红色区域呢? 你仔细一看也不行 那么普通三角形也不存在对象了 我们的寻找失败, 命题也得证 。
问:三角形三角形三边长均为整数a,b,c,且a小于等于b,b小于等于c,若b=5,求出所有符合条件的三角形的另两边a,c,符合条件的三角形共有多少个?
答:用罗列法如下: a=2,c=6 a=3,c=7 a=3,c=6 a=4,c=6 a=4,c=7 a=4,c=8 答:符合条件的三角形共有6个.详情>>
答:详情>>