解方程
对于N属于N*,解方程 sinxsin2x...sinnx+coxcos2x...cosnx=1
当n=1时,1=sinx+cosx=√2cos(x-π/4)。 于是,有x=2mπ,或x=2kπ+π/2,m、k∈Z。 当n=2时,1=sinxsin2x+cosxcos2x=cos(2x-x), 于是得,x=2mπ,m∈Z。 当n>2时,1=sinxsin2x···sinnx+cosxcos2x···cosnx ≤|sinxsin2x···sinnx|+|cosxcos2x···cosnx| ≤|sinxsin2x|+|cosxcos2x| =max{|sinxsin2x+cosxcos2x|,|sinxsin2x-cosxcos2x|} =max{|cosx|,|cos3x|} 因此,如果某个x是原方程的解,则 |cosx|=1,或|cos3x|=1。
但若|cos3x|=1,则sin3x=0, 即cosxcos2x···cosnx=1,仍有|cos3x|=1。 故只需考虑|cosx|=1的情神, 经验证,对任意n≥3,x=2mπ,m∈Z满足方程, 又如果x=(2k+1)π,k∈Z,则因 sinrx=0,cosrx=(-1)^r,r=1,···,n。
因此仅当1=sinxsin2x···sinnx+cosxcos2x···cosnx=(-1)^[n(n+1)/2], 即n(n+1)/2为偶数时,x=(2k+1)π满足方程, 但当且仅当n或n+1有一个被4整除时n(n+1)/2为偶数· 综上所述, 当n=1时,x=2mπ或x=2kπ+π/2,m、k∈Z; 当n=4l-2或n=4l+1,l∈N*时,x=2mπ,m∈Z; 当n=4l或n=4l-1,l∈N*时,x=mπ,m∈z。
利用三角函数的性质来猜: x=0
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