已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP，过点P作PF垂直AP，与角DCE的平分线CF相交于点F，联结AF，与边CD相交于点G，联结PG
已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP，过点P作PF垂直AP，与角DCE的平分线CF相交于点F，联结AF，与边CD相交于点G，联结PG求（1）AP=FP（2）圆P、圆G的半径分别是PB和GD，试判断圆P与圆G两圆的位置关系，并说明理由（3）当BP取何值时，PG平行CF （要有详细过程）
解：（1）在AB上取一点M，使BM＝BP
因为正方形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90度，AB＝BC
故：∠BPM＝∠BMP＝45度，AM＝PC，∠BAP＋∠BPA＝90度
因为CF平分∠DCE
故：∠DCF＝∠FCE＝45度
故：∠AMP＝∠PCF＝135度
又PF⊥AP，故：∠FPC＋∠BPA＝∠APF＝90度
故：∠BAP＝∠FPC
故：△AMP≌△PCF（ASA）
故：AP=FP
（2）因为AP=FP，PF⊥AP
故：∠PAG＝45度，故：∠BAP＋∠DAG＝45度
把△ABP绕A逆时针旋转90度，使AB与AD重合，P点旋转到N点
故：AP＝AN，DN＝BP，∠DAN＝∠BAP
因为∠ADG＝∠B＝90度
故：N、D、G三点在同一条直线上
故：∠GAN＝∠DAG＋∠DAN＝∠DAG＋∠BAP＝45度
因为AG＝AG
故：△APG≌△ANG
故：PG＝NG＝GD＋DN＝GD＋BP
因为⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD
故：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切
（3）如果PG‖CF，则：∠GPC＝∠ECF＝45度
故：∠GPC＝∠PGC＝45度
故：PC＝CG
故：BP＝GD
设：BP＝GD＝x，因为AB=2，PG＝GD＋BP
故：PC＝CG=2-x，PG=2x
在Rt△PCG中，PG²＝PC²＋CG²
(2x )²＝(2-x) ²＋(2-x) ²
故：x=2√2-2
故：当BP取2√2-2时，PG‖CF。
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