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2008-11-08 16:25:25

•   圆内接四边形外接圆上任一点至两对角线的距离之积的平方等于该点至各边的距离之积。 
  证明 设圆内接四边形ABCD，P是其外接圆上任一点，过P分别作对角线AC,BD;边AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为E,F;G,H,I,J。 
  即证:(PE*PF)^2=PG*PH*PI*PJ (1) 
  连PA,PC,PB,PD,设四边形ABCD外接圆半径为R。
     
  根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积。 
  在ΔPAC中，得: 
  2R*PE=PA*PC (2-1) 
  同理可得: 
  2R*PF=PB*PD (2-2) 
  在ΔPAB中，得: 
  2R*PG=PA*PB (3-1) 
  同理可得: 
  2R*PH=PB*PC (3-2) 
  2R*PI=PC*PD (3-3) 
  2R*PJ=PD*PA (3-4) 
  (2-1)*(2-2)得: 
  4R^2*PE*PF=PA*PB*PC*PD (4-1) 
  (3-1)*(3-2)(3-3)*(3-4)得: 
  16R^4*PG*PH*PI*PJ=(PA*PB*PC*PD)^2 (4-2) 
  因此得:(PE*PF)^2=PG*PH*PI*PJ 。
    证毕。 
  。

  全部
  

  m***

  2008-11-08 16:25:25

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