几何证明
已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,以四边形ABCD各边为直径向外作半圆。记四个半圆面积减去与四边形ABCD外接圆相交部分的面积为T，四边形ABCD的面积为S.求证 T=S.
已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,以四边形ABCD各边为直径向外作半圆。记四个半圆面积减去与四边形ABCD外接圆相交部分的面积为T，四边形ABCD的面积为S。求证 T=S。 先证两个两个引理。 引理1 已知四边形ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,R是外接圆半径。
则 AB^2+CD^2=BC^2+DA^2=4R^2。 证明简单略。 引理2 以直角△ABC的斜边BC为直径向形内作半圆，以直角边AB,AC分别为直径向形外作半圆。设半圆AB面积T1减圆BC的弓形AB面积为M,半圆AC面积T2减圆BC的弓形AC面积为N,半圆BC面积T,直角△ABC的面积为S。
则 S=M+N。 简证 ∵M+N+T=T1+T2+S,∴M+N=T1+T2-T+S M+N=π(CA^2+AB^2-BC^2)/8+S=S。 证明 设半圆AB面积T1减外接圆ABCD的弓形AB面积为M1,半圆BC面积T2减外接圆ABCD的弓形BC面积为M2,半圆CD面积T3减外接圆ABCD的弓形CD面积为M3,半圆DA面积T4减外接圆ABCD的弓形DA面积为M4,外接圆ABCD面积T,四边形ABCD的面积为S。
所以 M1+M2+M3+M4+T=T1+T2+T3+T4+S。 由引理1和引理2得:T=T1+T2+T3+T4。 因此M1+M2+M3+M4=S。证毕。 。
答：如图： 以C为圆心、BC为半径作圆C，交AC于E、交AC的延长线于F。 BC=EC-FC → AE=AC-BC, AF=AC+BC 如果△ABF∽△ADE就会有...详情>>
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