设αβγ均为锐角
设α、β、γ均为锐角,且(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=1,求证:(sinα)^3/sinβ+(sinβ)^3/sinγ+(sinγ)^3/sinα≥1.
更为简洁的是：令a=sinα,b=sinβ,c=sinγ a^3/b+ab≥2a^2,b^3/c+bc≥2b^2,c^3/a+ab≥2c^2 三式相加得 a^3/b+b^3/c+c^3/a+ab+bc+ca≥2(a^2+b^2+c^2) 而ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2 所以a^3/b+b^3/c+c^3/a≥a^2+b^2+c^2=1 当且仅当a=b=c时取等号 原不等式获证！
证明:由三元均值不等式,得 (sinα)^3/sinβ+(sinα)^3/sinβ+sin^2β≥3sin^2α, (sinβ)^3/sinγ+(sinβ)^3/sinγ+sin^2γ≥3sin^2β, (sinγ)^3/sinα+(sinγ)^3/sinα+sin^2α≥3sin^2γ,三式相加,得 [(sinα)^3/sinβ+(sinβ)^3/sinγ+(sinγ)^3/sinα]+ [(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2]≥3[(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2],将(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=1代入,得 (sinα)^3/sinβ+(sinβ)^3/sinγ+(sinγ)^3/sinα≥1.
α、β、γ均为锐角,即sinα、sinβ、sinγ>0, 为方便手机表达,设sinα=x,sinβ=y,sinγ=z, 则依柯西不等式得, (xy+yz+zx)(x^3/y+y^3/z+z^3/x)≥(x^2+y^2+z^2)^2 →x^3/y+y^3/z+z^3/x≥1/(xy+yz+zx)……(1) 而(x^2+y^2+z^2)(y^2+z^2+x^2)≥(xy+yz+zx)^2(柯西不等式) →xy+yz+zx≤1 →1/(xy+yz+zx)≥1 ……(2) 以(2)代入(1)得 x^3/y+y^3/z+z^3/x≥1. 即(sinα)^3/sinβ+(sinβ)^3/sinγ+(sinγ)^3/sinα≥1.
答：设 a=sinα，b=sinβ ，c=sinγ， 则a, b, c ∈(0, 1) a^3+b^3+c^3 =1 ， tan^2α=sin^2α/(1-sin...详情>>
答：详情>>
答：x->0:lim(1+x)^(-1/x) =1/[x->0:lim(1+x)^(1/x) =1/e x->∞:limxsin(1/x) =1/x->0:lim[...详情>>
答：对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评详情>>
