因为将n^5-n分解因式为： n^5-n =n(n^4-1) =n(n^2+1)(n^2-1) =n(n-1)(n+1)(n^2+1) 因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数，其中必定有2的倍数和3的倍数，则必然是6的倍数。 若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那么n-1或n或n+1中含因子5，则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+2，则: n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+3，则： n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
证明：（1）当n=0时，显然n^5-n可被30整除。
(2)n为正整数时，
n^5-n
=n(n^4-1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
易知(n-1)n(n+1)能被6整除，故n^5-n能被6整除。
记r=n(mod 5)，r=0,1,2,3,4。
(n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5)
=(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)
当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除；
当r=2,3时，r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0，所以n^5-n可被30整除。
(3)n为负整数时，记f(n)=n^5-n,则f(n)=-f(-n),由（2）知f(-n) 可被5整除，所以f(n)即n^5-n也可被5整除。
综上所述，n为整数时，n^5-n可被5整除。
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