已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点,,若圆的圆心与椭圆的右焦点重合,圆的半径恰好...
已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点,,若圆的圆心与椭圆的右焦点重合,圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长,已知点为圆上的一点.
求椭圆的标准方程和圆的标准方程;
求(为坐标原点)的取值范围;
求的最大值和最小值.
设椭圆的标准方程为,依题意可得,由此能求出椭圆的标准方程和圆的标准方程。
由圆心,知,所以,而,则,由此能求出的取值范围。
表示圆上点与坐标原点的距离的平方,因为原点到圆心的距离为,圆的半径为,由此能求出的最大值和最小值。
解:设椭圆的标准方程为,依题意可得,可得,,
所以,所求椭圆的标准方程为。
(分)
因为圆的圆心和椭圆的右焦点重合,圆的半径恰为椭圆的短半轴长,
故园的标准方程为。(分)
由得圆心,所以,而,则,
所以,(分)
而,则,即,即,
因此,从而(为坐标原点)的取值范围为。
(分)
表示圆上点与坐标原点的距离的平方,因为原点到圆心的距离为,
圆的半径为,所以与坐标原点的距离的最小值为,
与坐标原点的距离的最大值为,故的最大值为,最小值。
(分)
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化。
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