已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=32，一个焦点的坐标为（3，0）．（Ⅰ）求...
已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=32，一个焦点的坐标为（3，0）．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设直线l：y=12x m与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T．当m变化时，求△TAB面积的最大值．
解：（I）依题意，设椭圆C的方程为x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）
∵c=3，e=ca=32∴a=2，
b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程是x24 y2=1
（II）由x24 y2=1y=12x m得x2 4(12x m)2=4，即x2 2mx 2m2-2=0
令△＞0，得8-4m2＞0，∴-2＜m＜2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）
则x1 x2=-2m，x1x2=2m2-2
|AB|=(x2-x1) 2 (y2-y1) 2=5(2-m2)
x0=x1 x22=-m，y0=x02 m=12m
∴M（-m，12m）
设T（t，0），
∵MT⊥AB，
∴kMT•kAB=0-m2t m=-1
∴|MT|=116m2 14m2=54|m|．
∴S△TAB=12|AB|•|MT|=12•5(2-m2)•54|m|=58-(m2-1)2 1．
∵-2＜m＜2，
∴当m2=1，即m=±1时，S△TAB取得最大值为58．。
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