已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切．（1）求椭圆 的方程；
已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ，过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆于 、 两点，连结 、 分别交直线 于 、 两点．试问直线 、 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（1） ；（2）详见解析。
试题分析：（1）由直线和圆相切，求 ，再由离心率 ，得 ，从而求 ，进而求椭圆 的方程；（2）要说明直线 、 的斜率之积是否为定值，关键是确定 、 两点的坐标。
首先设直线 的方程，并与椭圆联立，设 ，利用三点共线确定 、 两点的坐标的坐标，再计算直线 、 的斜率之积，这时会涉及到 ，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可．
试题解析：（1） ，故 4分
（2）设 ，若直线 与纵轴垂直，
则 中有一点与 重合，与题意不符，
故可设直线 。
5分
将其与椭圆方程联立，消去 得：
6分
7分
由 三点共线可知， ， ， 8分
同理可得 &n
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