高中数列问题
已知数列{an}中 a1=3, 前n项和为Sn=1/2*(n+1)(an+1)-1
(1)求证an是等差数列
(2)求an的通项公式
(3)设数列{1/ana(n+1)}前n项和Tn, 是否存在实数M使得Tn≤M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在请说明理由。
解：
(1)a(n+1)=S(n+1)-Sn=1/2*{(n+2)[a(n+1)+1]-(n+1)(an+1)}
==>na(n+1)=(n+1)an-1……(1)
故(n+1)a(n+2)=(n+2)a(n+1)-1……(2)
(2)-(1)得 (n+1)a(n+2)-n(a+1)=(n+2)a(n+1)-(n+1)an
即(n+1)a(n+2)-2(n+1)a(n+1)+(n+1)an=0
整理得 a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an
因此数列{an}是等差数列
(2)∵a1=3, na(n+1)=(n+1)an-1
∴a2=2a1-1=5
所以a2-a1=2, 即等差数列{an}的公差为2
故an=2n+1, n∈N+
(3)1/[an*a(n+1)]=1/(2n+1)(2n+3)=1/2*[1/(2n+1)-1/(2n+3)]
∴Tn=1/2*[1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)+1/(2n+1)-1/(2n+3)]
````=1/2*[1/3-1/(2n+3)]
T(n+1)=1/2*[1/3-1/(2n+5)]
T(n+1)-Tn=1/2*[1/(2n+3)-1/(2n+5)]＞0
所以Tn是n的增函数
若Tn≤M对一切正整数n都成立只要M≥1/6
故存在实数M使得Tn≤M对一切n∈N+都成立, M的最小值为1/6。
答：Sn=1/2(an+1/an) S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an) Sn+S(n-1)=1/an Sn-S(n-1)=an Sn^2-S(n-1...详情>>
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