如下图所示，O为球心，E,F分别为CD和AB的中点，EF是异面直线AB,CD的公垂线段，易知d=2OF=2√(22-12)=2√3.△ABE的面积S=AB×EF/2=2√33设C到面ABE的距离为h1,D到面ABE的距离为h2. 四面体ABCD的体积V=三棱锥C-ABE的体积+三棱锥D-ABE的体积 =(1/3)S(h1+h2)=(2√3/3)(h1+h2)≤(2√3/3)×CD=4√3/3,当且仅当AB⊥CD时,"="号成立,所以四面体体积的最大值为4√3/3.
最大值为8√3/6
解：定理：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为α，那么它的体积为V=abd sinα /6。
根据这个定理，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，方能得到最大的体积。
其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以如果连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形。
设AB的中点为E，CD的中点为F，则OE⊥AB，OF⊥CD。
设AB与CD间的距离为d，则根据定义，应有d≤EF≤OE+OF。
因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，且容易知道这样的四面体存在。
因为OE=OF=√3，故最大值为V=8√3/6。
答：设球半径R, 由题意,正四棱锥底面对角线2R,底面积2R^2, 正四棱锥高R, 体积(1/3)*2R^2*R=16/3,R=2 球表面积=4πR^2=16π详情>>
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