用反证法 假设∑[2^(-n^2)]是有理数 不妨设∑[2^(-n^2)]=p/q 其中p,q是正整数,且p,q互质 则p/q=∑[2^(-n^2)] =1+1/2+1/2^4+1/2^9+……+1/2^m²+1/2^(m+1)²+1/2^(m+2)²+…… 我们先固定m,记Am=1+1/2+1/2^4+1/2^9+……+1/2^m² Bm=1/2^(m+1)²+1/2^(m+2)²+…… 于是p/q=∑[2^(-n^2)]=Am+Bm （*） 我们将q*2^(m²)乘到(*)式两端有： 2^(m²)=q*2^(m²)*Am+q*2^(m²)*Bm （**） 而q*2^(m²)*Am=q*2^(m²)*[1+1/2+1/2^4+1/2^9+……+1/2^m²] 是(正)整数 现在考虑q*2^(m²)*Bm q*2^(m²)*Bm =q*2^(m²)*[1/2^(m+1)²+1/2^(m+2)²+1/2^(m+3)²+……] =q*[1/2^(2m+1)=1/2^(4m+4)+1/2^(6m+9)+1/2^(8m+16)+……] [2^(-n^2)]是无理数 。
答：这个太难了，找本欧拉的书来研究比较好详情>>
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