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2005-07-07 15:45:53

• I=∫{0≤x≤∞}EXP(-x^2)dx==>
  I^2=∫{0≤x≤∞}EXP(-x^2)dx∫{0≤y≤∞}EXP(-y^2)dy=
  =∫∫{0≤x,y≤∞}EXP(-x^2-y^2)dxdy=化极坐标=
  =∫{0≤θ≤π/2}[∫{0≤r≤∞}EXP(-r^2)rdr]dθ=
  =π/4==>
  I=√π/2.
  

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  1***

  2005-07-07 15:45:53

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2005-07-07 14:38:02

•   可以化作无穷级数，再逐项积分，可算的精度很高的值
  ∫EXP(-x^2)dx=∫(1+(-x^2)+（-x^2)^2/2!+。。。+(-x^2)^n/n!+。。。)dx
  =x-x^3/3+x^5/2!*5+。。。+(-1)^n*x^(2n+1)/n!*(2n+1)+。
    。。
  这个级数收敛很快。
  你是在考虑高斯函数吧G(x)=(2pi)^(-1/2)*∫(-∞,x)EXP(-x^2/2)dx。
  有一个近似式:
  (2pi)^(-1/2)*(1/x-1/x^3)EXP(-x^2/2)<
  1-G(x)<(2pi)^(-1/2)*(1/x)EXP(-x^2/2)
  当x充分大时,可化简为1-G(x)=(2pi)^(-1/2)*(1/x)EXP(-x^2/2)   在统计学中是一个很重要的公式。
    当x→∞时,有1-G(x)→0,自然有∫(-∞,∞)EXP(-x^2/2)dx=(2pi)^(1/2)。
      ∫(0,∞)EXP(-x^2)dx=∫(0,∞)EXP(-x^2/2)d(x/2^(1/2))
  =2^(-1/2)*∫(0,∞)EXP(-x^2/2)dx=(1/2)*2^(-1/2)*(2pi)^(1/2)=(pi)^(1/2)/2。

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  b***

  2005-07-07 14:38:02

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