数学问题立体几何
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD。PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N。 1.求证：平面ABM⊥平面PCD 2.求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3.求点N到平面ACM的距离
中间数字计算可能会出错，看时希望自己再算一遍，麻烦了 1。首先AC是球的直径，所以AM和CM垂直 其次由于CD分别和AP，AD垂直，所以CD和面PAD垂直，CD垂直AM 所以AM和面CDM即面PCD垂直。 因为面ABM过AM，所以面ABM和面PCD垂直 2。
由于AM垂直于面MCD，所以过D点做面AMC的垂线垂足肯定落在CM 上。所以线面角就是角DCM。下分别求直角三角形DCM的两边长 CD=2。 在等腰直角三角形PAD中，AM垂直PD，所以M是PD中点，DM=2√2 所以tanDCM=√2，线面角为arctan√2 3。
由于AM垂直于面MCD，所以过D点做面AMC的垂线垂足也肯定落 在CM上，设垂足是E。连接EC。不行就把图画大点，别看蒙。 三角形NEC是直角三角形，角NEC为直角。
在三角形PAC中可容易求得NC=10/3 而角NCE在三角形PMC中余弦定理可求cosNCE=5√3/9 所以sinNCE=√6/9 所以NE= NC*sinNCE=（10/3）*（√6/9）=10√3/27 。
我用另一思路：向量分析 1：标出各点标：A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,4) 2：算出：M(2,0,2), N(16/9,8/9,16/9); 3: 算出向量（AB），（AM），（PC），（PD），（AM）， （AC），（CD）和它们各自的距离。括号指向量。 3: 证明平面ABM⊥平面PCD 用向量方法(AB)x(AM)∙(PC)x(PD)=0 说明两平面垂直。 4: 求直线CD与平面ACM所成的角的大小：用叉乘(AC)x(AM)与（CD）点积，得要求的角的补角。 5：N点与平面ACM的距离：（NM）点乘(AC)x(AM)在除掉(AC)x(AM)的模。
1。证: 过O作OE⊥AB于E,过E作EF平行AP交PD于F,连OF。∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD于AB,∴OE⊥平面PAB。 O是AC的中点，四边形ABCD是矩形，AB=2,∴OE=1,AE=EB=2,∴EF=PA/2=2,∴OF=√5=OA=OD。
已知以O为球心，AC为直径的球面交PD于点M,∴F与M重合。 易知AM⊥PD,CD⊥平面PAB,AM在平面PAB上，∴CD⊥AM, ∴AM⊥平面PCD,∴平面ABM⊥平面PCD。 2。设D到平面ACM的距离为h,由VD-ACM=VM-ACD得 h*S△ACM=ME*S△ACD=2*4=8, AM⊥MC,AM=2√2，MC=√[ME^2+EC^2]=√[4+8]=2√3。
S△ACM=AM*MC/2=2√6， ∴h=8/(2√6)=(2√6)/3，∴直线CD与平面ACM所成的角为arcsin(h/CD)=arcsin[(√6)/3]。 3。PA=4,AC=2√5，PA⊥AC,∴PC=6。 过O作OG⊥PC于G,易知CG=OC*AC/PC=5/3。
∵ON=OC,∴CN=2CG=10/3。 设P到平面ACM的距离为k,则点N到平面ACM的距离n=k*CN/CP=5k/9。 由VP-ACM=VC-PAM得2√6k=2*8,k=(4√6)/3，∴n=(20√6)/27，为所求。 图见上传文件。
答：利用（cosa)^2=1/[1+(tana)^2]=1/12,若a为锐角，则cosa=√3/6.详情>>
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