设x,y,z>0。求证: 8(xyz)^2>=(x^2+zx+xy-yz)(y^2+xy+yz-zx)(z^2+yz+zx-xy) 证明 设a,b,c为任意三角形三边长。令a=y+z,b=z+x,c=x+y。 上式经置换等价于 (b+c-a)^2*(c+a-b)^2*(a+b-c)^2>=(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2) 由余弦定理知,当非锐角三角形显然成立。
仅需对锐角三角形证明。 K=(c+a-b)^2*(a+b-c)^2-(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2) =[a^2-(b-c)^2]^2-[a^4-(b^2-c^2)^2] =[(b+c)^2+(b-c)^2-2a^2]*(b-c)^2 =2(b^2+c^2-a^2)*(b-c)^2>=0。
故 (c+a-b)^2*(a+b-c)^2>=(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2) 同理可证 (b+c-a)^2*(a+b-c)^2>=(b^2+c^2-a^2)*(a^2+b^2-c^2) (b+c-a)^2*(c+a-b)^2>=(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2) 上述三式同向相乘,开方即得。
。
答：设x,y,z>0.求证 (y+z)^2/(x^2+yz)+(z+x)^2/(y^2+zx)+(x+y)^2/(z^2+xy)>=6 直接去分母展开为 ∑(y+z...详情>>
答：详情>>
