设x,y,z>0. 求证 (x^2+y^2+z^2)*(x/y+y/z+z/x)>=(yz+zx+xy)*(y/x+z/y+x/z)（1） 下面的证明也许是最简单的. 证明 (1)x^3/y+y^3/z+z^3/x>=x^3/x+y^3/y+z^3/z (2) 不论x,y,z大小顺序如何,(x^3,y^3,z^3)与(1/x,1/y,1/z)反序,即(2)式右边是“反序和”，故有排序不等式知,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立.
设x,y,z>0. 求证 (x^2+y^2+z^2)*(x/y+y/z+z/x)>=yz+zx+xy)*(y/x+z/y+x/z) 上述不等式可加强为 (x^2+y^2+z^2)*(x/y+y/z+z/x-1)>=yz+zx+xy)*(y/x+z/y+x/z-1)
设x,y,z>0。 求证 (x^2+y^2+z^2)*(x/y+y/z+z/x)>=(yz+zx+xy)*(y/x+z/y+x/z) （1） 直接左右展开整理，知其等价于 x^3/y+y^3/z+z^3/x>=x^2+y^2+z^2 （2） 由柯西不等式，有 (xy+yz+zx)(x^3/y+y^3/z+z^3/x)>=(x^2+y^2+z^2)^2 故只需证 x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx 显然成立，故（2）式成立，即原不等式得证。
看了楼下maxlove的解答，我发现还可以再加强为： (x^2+y^2+z^2)*(x/y+y/z+z/x-2)>=(yz+zx+xy)*(y/x+z/y+x/z-2)…（3） 证明： 由轮换对称性，只需证明以下两种情况： x>=y>=z、x=y/x+z/y+x/z，此时（3）式显然成立，故只需证x>=y>=z时（3）式也成立即可。
我依然是左右展开，得到（3）式等价于 x^3/y+y^3/z+z^3/x+2(xy+yz+zx)>=3(x^2+y^2+z^2) （4） ∑(x^3/y-2x^2+xy)>=∑(x^2-xy) ∑(x(x-y)^2/y)>=1/2*∑(x-y)^2 ∑((x/y-1/2)(x-y)^2)>=0 （5） 显然有 (x/y-1/2)+(y/z-1/2)+(z/x-1/2)>=3-3/2=3/2>0 且当x>=y>=z时 (x/y-1/2)(y/z-1/2)+(y/z-1/2)(z/x-1/2)+(z/x-1/2)(x/y-1/2) =y/x+z/y+x/z-x/y-y/z-z/x+3/4>=3/4>0 因此由S。
O。S定理，可知（5）式成立，故（3）式得证。 。
记p=x+y+z,q=yz+zx+xy,r=xyz,A=x/y+y/z+z/x,B=y/x+x/z+z/y 则x^2+y^2+z^2=p^2-2q, A=(xy^2+yz^2+zx^2)/r,B=(x^2y+y^2z+z^2x)/r A+B=(pq-3r)/r,A-B=(y-z)(z-x)(x-y)/r所以 A=[pq-3r+(y-z)(z-x)(x-y)]/(2r) B=[pq-3r-(y-z)(z-x)(x-y)]/(2r) 原不等式即 (p^2-2q)[pq-3r+(y-z)(z-x)(x-y)]≥q[pq-3r-(y-z)(z-x)(x-y)] 整理得 (p^2-3q)(pq-3r)+(p^2-3q)(y-z)(z-x)(x-y)≥0 p^2-3q≥0 只需证pq-3r+(y-z)(z-x)(x-y)≥0 即r(A+B)+r(A-B)≥0 即2rA≥0 显然成立！ 所以原式得证。
问：急啊设X+Y+Z=0 求证6(x^3 y^3 z^3)^2小于等于(X^2 Y^2 Z^
答：证：当x=y=z=0时，欲证不等式显然成立。 下设x,y,z不全为0。 x³+y³+z³=(x+y)³+z³-...详情>>
答：详情>>
