设x,y,z>0.求证 (y+z)^2/(x^2+yz)+(z+x)^2/(y^2+zx)+(x+y)^2/(z^2+xy)>=6 直接去分母展开为 ∑(y+z)x^5+∑(y^2+z^2)x^4-4∑(yz)^3-2xyz∑x^3+2xyz∑(y+z)x^2-6(xyz)^2≥0 上式化简为 ∑yz(x^2-xy-xz+y^2+z^2+3yz)(y-z)^2≥0 ∑yz[(y+z-x)^2+xy+xz+yz](y-z)^2≥0 命题成立.
先用柯西（不是直接乘分母，这样会放过）再展开会快些。见附件
下面首先给出三个局部不等式:
2√{(y^2+zx)*(z^2+xy)/[(z^2+zx+x^2)*(x^2+xy+y^2)]}≥{3x^3*yz(y+z)+2(yz)^2*(y^2+yz+z^2)+x^2*[3y^4+2yz(y^2+z^2)+3z^4+2(yz)^2]+3xyz(y+z)(y^2+z^2)}/∏(y^2+zx) (2-1)
2√{(z^2+xy)*(x^2+yz)/[(x^2+xy+y^2)*(y^2+yz+z^2)]}≥
{3y^3*zx(z+x)+2(zx)^2*(z^2+zx+x^2)+y^2*[3z^4+2zx(z^2+x^2)+3x^4+2(zx)^2)+3xyz(x+z)(z^2+x^2)}/∏(y^2+zx) (2-2)
2√{(x^2+yz)*(y^2+zx)/[(y^2+yz+z^2)*(z^2+zx+x^2)]}≥
{3z^3*xy(x+y)+2(xy)^2*(x^2+y^2+xy)+z^2*[3x^4+2xy(x^2+y^2)+3y^4+2(xy)^2]+3xyz(x+y)(x^2+y^2)}/∏(y^2+zx) (2-3)
(2-1)等价于
4(y^2+y*z+z^2)^2*(z^2+x^2+z*x)*(x^2+y^2+x*y)(y^2+z*x)*(z^2+x*y)≥
{3x^3*yz(y+z)+2(yz)^2*(y^2+yz+z^2)+x^2*[3y^4+2yz(y^2+z^2)+3z^4+2(yz^)2]+3xyz(y+z)(y^2+z^2)}^2
上式展开化简为
x(y-z)^2*{4(yz)^2*(y^5+z^5)+8(yz)^3*(y^3+z^3)+12(yz)^4*(y+z)+3xy^2*z^2*(y^4+z^4-y^2*z^2)
+2x^2*yz(y^5+z^5+yz^4+zy^4+y^3*z^2+y^2*z^3)+xy^2*z^2*(yx^2-yz)^2
+4x^2*y^5*(x-y)^2+4x^2*z^5*(x-z)^2+3x^3*y^2*z^2*(x-y)^2+3x^3*y^2*z^2*(x-z)^2
+2x^2*y^4*z(x-z)^2+2x^2*y*z^4*(x-y)^2+4xzy^3*(x^2-y^2)^2+4xyz^3*(x^2-z^2)^2
+x^3*(3y^8+8zy^3+9y^2*z^2+8yz^3)*(y-z)^2}≥0
显然成立。
同样可证(2-2),(2-3)。
对所证不等式,我们只需证
∑(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)*(x^2+yz)+
∑[3x^3*yz(y+z)+2(yz)^2*(y^2+yz+z^2)+x^2*(3y^4+2yz(y^2+z^2)+2y^2*z^2+3z^4)+3xyz(y+z)(y^2+z^2)]
≥6∏(y^2+z^2+yz) (3)
(3)展开为
∑x^6+∑x^5*(y+z)-3∑(yz)^3+2xyz∑x^3-6(xyz)^2≥0
上式显然成立。
以下验证过程。
factor(4*(y^2+y*z+z^2)^2*(z^2+x^2+z*x)*(x^2+y^2+x*y)*(y^2+z*x)*(z^2+x*y)-(3*x^3*y*z*(y+z)+2*y^2*z^2*(y^2+y*z+z^2)+x^2*(3*y^4+2*y*z*(y^2+z^2)+3*z^4+2*y^2*z^2)+3*x*y*z*(y+z)*(y^2+z^2))^2);
>xprove(4*(y^2+y*z+z^2)^2*(z^2+x^2+z*x)*(x^2+y^2+x*y)*(y^2+z*x)*(z^2+x*y)-(3*x^3*y*z*(y+z)+2*y^2*z^2*(y^2+y*z+z^2)+x^2*(3*y^4+2*y*z*(y^2+z^2)+3*z^4+2*y^2*z^2)+3*x*y*z*(y+z)*(y^2+z^2))^2>=0);
> expand((z^2+x^2+z*x)*(x^2+y^2+x*y)*(x^2+y*z)+(y^2+y*z+z^2)*(x^2+y^2+x*y)*(y^2+z*x)+(z^2+x^2+z*x)*(y^2+y*z+z^2)*(z^2+x*y)+3*x^3*y*z*(y+z)+2*y^2*z^2*(y^2+y*z+z^2)+x^2*(3*y^4+2*y*z*(y^2+z^2)+2*y^2*z^2+3*z^4)+3*x*y*z*(y+z)*(y^2+z^2)+3*x*y^3*z*(z+x)+2*z^2*x^2*(z^2+x^2+z*x)+y^2*(3*z^4+2*z^2*x^2+2*z*x*(z^2+x^2)+3*x^4)+3*x*y*z*(x+z)*(z^2+x^2)+3*x*y*z^3*(x+y)+2*x^2*y^2*(x^2+y^2+x*y)+z^2*(3*x^4+2*x^2*y^2+2*x*y*(x^2+y^2)+3*y^4)+3*x*y*z*(x+y)*(x^2+y^2)-6*(y^2+y*z+z^2)*(z^2+x^2+z*x)*(x^2+y^2+x*y));
>
。
答：设x,y,z为正实数。求证 z√(x^2+xy+y^2)+x√(y^2+yz+z^2)+y√(z^2+zx+x^2)>=√[(Σx^2)^2+Σx^2*Σyz+...详情>>
答：详情>>
