1。用:p>1
∑{1≤n≤N}anbn≤
≤[∑{1≤n≤N}(an)^p]^[1/p]*
*[∑{1≤n≤N}(n)^(p/(p-1)]^[(p-1)/p]
2。p>1,x,y≥0,
F(x)=(1/p){[(n-1)y+x]/n}^p-
-[y/(p-1)][{[(n-1)y+x]/n}^(p-1)-y^(p-1)]
==>F'(x)=0==>x=y,
得F的最小值F(y)=(1/p)[y]^p≥0
==>
(1/p){[(n-1)y+x]/n}^p≥
≥[y/(p-1)][{[(n-1)y+x]/n}^(p-1)-y^(p-1)]。
  
3。设bk=(ak)^(1/p),B(n)=(b1+b2+。。。+bn)/n
==>
[(n-1)B(n-1)+bn]/n=B(n)
由2。==>
(1/p)B(n)^p≥
≥[B(n-1)/(p-1)][B(n)^(p-1)-B(n-1)^(p-1)]。
  
==>
B(n)^p≤p/(p-1)[B(n)^(p-1)bn]+
+1/(p-1)[(n-1)B(n-1)^p-nB(n)^p],n≥1
4。∑{1≤n≤N}B(n)^p≤
≤p/(p-1)∑{1≤n≤N}[B(n)^(p-1)bn]+
+1/(p-1)∑{1≤n≤N}[(n-1)B(n-1)^p-nB(n)^p]=
=p/(p-1)∑{1≤n≤N}[B(n)^(p-1)bn]-[1/(p-1)]NB(N)^p≤
≤p/(p-1)∑{1≤n≤N}[B(n)^(p-1)bn]≤(使用1。
  )
≤p/(p-1)[∑{1≤n≤N}B(n)^p]^[(p-1)/p]*
*[∑{1≤n≤N}(bn)^p]^(1/p)
==>
∑{1≤n≤N}B(n)^p≤[p/(p-1)]^p*∑{1≤n≤N}(bn)^p
==>
∑{1≤n≤∞}B(n)^p≤[p/(p-1)]^p*∑{1≤n≤∞}(bn)^p
。