已知双曲线与椭圆有公共焦点,且以抛物线的准线为双曲线的一条准线.动直线过双曲线的...
已知双曲线与椭圆有公共焦点,且以抛物线的准线为双曲线的一条准线.动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于,两点.
求双曲线的方程;
无论直线绕点怎样转动,在双曲线上是否总存在定点,使恒成立?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
又椭圆得焦点坐标,得出双曲线中的值,再由抛物线的准线为双曲线的一条准线,得出双曲线中的值,则可求,双曲线的方程可得。
先假设存在在定点,使恒成立,设出点坐标,根据,求点坐标,如能求出,则存在,求不出,则不存在。
解:设,则由题意有:,,
故双曲线的方程为,
(:由得点为
当直线的斜率存在时,设直线方程,,
将方程与双曲线方程联立消去得:,
解得
假设双曲线上存在定点,使恒成立,设为
则:
,,
故得:对任意的恒成立,
,解得
当点为时,恒成立;
当直线的斜率不存在时,由,知点使得也成立。
又因为点是双曲线的左顶点,
所以双曲线上存在定点,使恒成立。
本题考查三种圆锥曲线的关系,以及存在性问题,综合性强,须认真审题。
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