塞瓦三角形问题
设P是三角形ABC内一点,直线AP,BP,CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
设P是三角形ABC内一点,直线AP,BP,CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。 证明 设三角形ABC的面积为S, 塞瓦三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。
令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB,则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。那么 Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S, Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S, Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。
所以有 S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)] =S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] , 据此命题[S≥4S1]转化为证明 4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1 根据塞瓦定理得: xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z) 上述恒等式展开等价于 1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z 所以4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1等价于 8xyz≤1 而xyz=√[x*y*z*(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤(1/2)^3=1/8, 所以S≥4S1证毕。
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问:小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时,他行1小时可行多少千米?(为...
答:1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问:甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答:(38+41)x2.5=197.5千米详情>>