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求值

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求值

设f(x)是一个98次多项式,使得
f(K)=1/K,(其中,k=1,2,……,99).
求f(100)的值.

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  • 2010-11-15 13:52:39
    解:
    构造一个函数g(x)=xf(x)-1,
    则g(1)=g(2)=……=g(99)=0,
    并且g(x)是99次多项式,所以
    g(x)=a(x-1)(x-2)……(x-99).
    其中,g(x)的首项系数a是一个待定系数.由于
    f(x)=[g(x)+1]/x=[a(x-1)(x-2)……(x-99)+1]/x
    是一个98次多项式,
    故a(x-1)(x-2)……(x-99)+1的常数项必需为0,即
    -99!a+1=0→a=1/99!
    因此,f(x)=[(1/99!)(x-1)(x-2)……(x-99)+1]/x,
    所以,f(100)=(1+1)/100=1/50.

    柳***

    2010-11-15 13:52:39

其他答案

    2010-11-14 22:42:35
  • f(k)=1/k,(k=1,2,3,...,99)说明
    99次方程xf(x)-1=0恰好有99个解1,2,3,...,99
    所以xf(x)-1=a(x-1)(x-2)……(x-99)
    上式中令x=100有
    100f(100)-1=1×2×3×……×99a
    f(100)=(1×2×3×……×99a+1)/100 。

    l***

    2010-11-14 22:42:35

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