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求值

设f(x)是定义在R上的函数,若f(0)=2008,且对任意x∈R,满足f(x+2)-f(x)≤3·2^x,f(x+6)-f(x)≥63·2^x,求f(2008)

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好评回答
  • 2012-08-12 20:30:38
    令g(x)=f(x)-2^x,则
    g(x+2)-g(x)=f(x+2)-f(x)-2^(x+2)+2^x≤3·2^x-3·2^x=0,
    g(x+6)-g(x)=f(x+6)-f(x)-2^(x+6)+2^x≥63·2^x-63·2^x=0,
    即g(x+2)≤g(x),g(x+6)≥g(x),
    故g(x)≤g(x+6)≤g(x+4)≤g(x+2)≤g(x),
    可见,g(x)是周期为2的周期函数,
    ∴f(2008)=g(2008)+2^2008=g(0)+2^2008=2^2008+2007。

    柳***

    2012-08-12 20:30:38

其他答案

    2012-08-11 17:19:07
  •   x=0时,f(2)-f(0)≤3,f(2)≤2011
    x=2时,f(4)-f(2)≤12,f(4)≤2023
    x=4时,f(6)-f(4)≤48,f(6)≤2071(1)
    而x=0时,f(6)-f(0)≥63,f(6)≥2071(2)
    比较(1)(2),得f(6)=2071=2008+7*9=2008+(2^3-1)(2^3+1)
    x=6时,f(8)-f(6)≤192,f(8)≤2263
    x=8时,f(10)-f(8)≤768,f(10)≤3031
    x=10时,f(12)-f(10)≤3072,f(12)≤6103(3)
    而x=6时,f(12)-f(6)≥4032,f(12)≥6103(4)
    由(3)(4),得f(12)=6103=2008+63*65=2008+(2^6-1)(2^6+1)
    可归纳并演绎出
    f(2004)=2008+(2^1002-1)(2^1002+1)
    f(2010)=2008+(2^1005-1)(2^2005+1)
    能否得f(2008)=2008+(2^1004-1)(2^1004^+1),我没有把握。
       求教于数学爱好者! 。

    B***

    2012-08-11 17:19:07

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