过双曲线x^2-y^2=1的右焦点,作直线l交曲线与A,B。记双曲线一条渐近线的方向向量为V 当向量AB在V上投影的绝对值是根号10时，求l的方程。
解：右焦点为F(√2，0)。设l的方程为x=my+√2，                      (1)
代入x^2-y^2=1得(m^2-1)y^2+2√2my+1=0,                             (2)
取向量V=(1,1)，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2√2m/(m^2-1),y1y2=1/(m^2-1)。
  
由(1),x2-x1=m(y2-y1)。
向量AB在V上投影的绝对值是∣AB•V∣/∣V∣=∣x2-x1+y2-y1∣/√2=∣(m+1)(y2-y1)∣/√2
=∣m+1∣√[(y1+y2)^2-4y1y2]/√2=√[2(m^2+1)]/∣m-1∣=√10，
两边平方，化简得2m^2-5m+2=0,m=2,或m=1/2。
  
∴l的方程为x-2y-√2=0，或2x-y-2√2=0。
。A是抛物线y^2=4x上一点，点P（3，0），是否存在一与x轴垂直的直线被以AP为直径的圆所截弦为定值？
解：设A(t^2,2t)。则以AP为直径的圆的方程为(x-3)(x-t^2)+y(y-2t)=0,
设与x轴垂直的直线方程为x=m,代入上式得(m-3)(m-t^2)+y(y-2t)=0,
关于y的方程y^2-2ty+(m-3)(m-t^2)=0的两根满足y1+y2=2t,y1y2=(m-3)(m-t^2),
所求弦长为∣y1-y2∣=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[4t^2-4(m-3)(m-t^2)]=2√[(m-2)t^2-m(m-3)],
m=2时弦长=2√2，所以存在一与x轴垂直的直线x=2被以AP为直径的圆所截弦为定值。
  
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