|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，则：ab+bc+ac+1＞0
证明1：以a为变量，构造函数 f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1
∵f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0，f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0又∵f(x)是一次函数，具有有单调性
∴－1＜x＜1时，f(x)的值位于f(-1)与f(1)之间
即|a|＜1时，f(a)=ab+bc+ac+1＞0成立
证明2：|a|＜1--->-1＜a＜1 
1。
  b+c＞0时--->-(b+c)＜a(b+c)＜(b+c) 
　　　　　--->bc+1-(b+c)＜a(b+c)bc+1＜(b+c)bc+1
　　　　　--->(1-b)(1-c)＜ab+bc+ac+1＜(1+b)(1+c)。。。。。(*)
　　　　　∵|b|＜1,|c|＜1, ∴1-b,1+b,1-c,1+c＞0 
　　　　　--->(1-b)(1-c)＞0，(1+b)(1+c)＞0
　　　　　--->ab+bc+ac+1＞0
2。
  b+c=0时，ab+bc+ac+1=ac+1＞0(∵-1＜ac＜1)显然成立
3。
  b+c＜0时，1中不等号反向，(*)左右仍都为正，同理可证
证明3：分类讨论法：
(1) abc=0时，由证明2(3)易证ab+bc+ac+1＞0
(2) a,b,c同号时，显然ab+bc+ac+1＞0
(3) a,b,c不同号时
　　i) 一正二负,不妨设0ab>b,ac>c
　　　 --->ab+bc+ac+1＞b+bc+c+1=(b+1)(c+1)＞0
　　ii)二正一负,不妨设0bc>-b,ac>-a
　　　 --->ab+bc+ac+1＞ab-b-a+1=(b-1)(a-1)＞0
综合(1)(2)(3)--->ab+bc+ac+1＞0。