1。反函数的概念
设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y)。如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数。
  这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x)。
函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域。
  
函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称。
2。反函数概念的理解
反函数实质上也是函数。
反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在。
并不是所有的函数都有反函数。例如函数y＝x2没有反函数。
  只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值)。
如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数。
  
函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域。
反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域。例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域。因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域。
  
3。求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为：
(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)将x、y互换，得到y＝f-1(x);
(3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域。
互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的。
  例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ 。
4。互为反函数图像间的关系
在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称。特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称。
  
在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同。在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数。在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集。
5。
  反函数具备的其它性质
在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同。
若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有
f［f-1(x)］＝x(x∈C)；
f-1［f(x)］＝x(x∈A)。
  
互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性。
奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数。
具有单调性的函数必有反函数。
两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上。
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