(1)
∫xe^xdx
=∫xd(e^x)
=xe^x-∫e^xdx
=xe^x-e^x+C
=(x-1)e^x+C。
(2)
∫x^2sinxdx
=-∫x^2d(cosx)
=-x^2cosx+2∫xcosxdx
=-x^2cosx+2∫xd(sinx)
=-x^2cosx+2(xsinx-∫sinxdx)
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx+C。
  
(3)
∫arctanxdx
=xarctanx-∫xd(arctanx)
=xarctanx-∫[x/(1+x^2)]dx
=xarctanx-(1/2)∫[1/(1+x^2)]d(1+x^2)
=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C。
  
(4)
∫x^2lnxdx
=(1/3)∫lnxd(x^3)
=(1/3)[x^3lnx-∫x^3d(lnx)]
=(1/3)(x^3lnx-∫x^2dx)
=(1/3)x^3lnx-(1/9)x^3+C。
(5)
∫ln(1+x^2)dx
=xln(1+x^2)-∫xd[ln(1+x^2)]
=xln(1+x^2)-2∫[x^2/(1+x^2)]dx
=xln(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)]dx
=xlnx(1+x^2)-2x+2arctanx+C。
  
(6)
∫e^xsinxdx
=-∫e^xd(cosx)
=-[e^xcosx-∫cosxd(e^x)]
=-e^xcosx+∫e^xd(sinx)
=-e^xcosx+e^xsinx-∫sinxd(e^x)
=-e^xcosx+e^xsinx-∫e^xsinxdx
移项整理，得
∫e^xsinx=[(sinx-cosx)/2]e^x+C。
  
(7)
设t=√x，则dx=2tdt
∴∫e^√xdx
=2∫te^tdt
=2∫td(e^t)
=2(te^t-∫e^tdt)
=2te^t-2e^t+C
=2(t-1)e^t+C
=2(√x-1)e^√x+C。