一、集合论的产生与完备过程 我们原本生活在一个无穷的世界里，但我们的认识往往要从有限开始。无穷的世界里有着我们在有限的思维方式下认为不可思议的问题。例如：“从地球到月球上的线段和一厘米长线段上的点一样多。”您会相信吗？发现它并揭示其中奥秘的是20世纪初伟大的数学家、集合论的创始人——奥格尔·康托尔。
他的理论把人们从有限带进了无穷，把近代数学推向了现代数学。 很长一段时间，无穷是哲学中一个有论题，无论是在中国还是在西方，早期的哲学家们在思考宇宙的本原问题时，就有了某种关于有穷和无穷的思想。例如：希腊的毕达哥拉斯学派、芝诺、中国的惠施和公孙龙。
然而，无穷对于人们一直是笼罩在浓雾之中的一个神秘领域。人们不知道，在无穷之间是否还有大小之分。只是到了上个世纪末，德国数学家康托尔（1845—1909）才开始揭示其中的奥秘：代数的集合同正整数的集合一般大，而实数的集合不与正整数的集合一般大。
在1874—1909的30多年间，他系统地建立了关于无穷集合的理论，创立了超穷序数、基数新概念。并把最新的超穷基数W赋予可数集，给连续统更高的超穷数，还建立了一整套有关的基本定理。1901年勒贝格以测度论充实了集合论，康托尔的集合论才被公认了。
在集合论产生与发展的整个过程中，许多数学家与哲学家从事了集合论的研究工作，并取得了令人振奋的成就，策墨罗和弗郎克尔通过对康托尔朴素集合论的研究，提出了ZF公理系统，把集合论建立在一系列公理系统上。使朴素集合论完善为公理化集合论。它克服了康托朴素集合论引起的一些矛盾，推动了集合的论的发展。
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集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。 十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。 根?恼f法，?我??把一些清晰可分的，客觀世界中或我??思想中的事物，看成一體?r，這整體便稱之?椤讣稀梗渲械氖挛锓Q?樗摹冈亍埂Ｈ?x 是集合 A 的元素，我??便用符? 表示；若 x 不是集合 A 的元素。
?t以 表示；而不包含任何元素的集合叫「空集合」。通常用符? 表示它，空集合和?迪抵械?0 相?。由元素 a,b,c ?樵氐募希梢杂梅? {a,b,c} 表示。有了這些??湟葬幔??就可以把正整?档南到y建立在集合?上，方法是：, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}，如此整????W便可以建立在集合?上了。
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答：1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
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