微分方程应用题数学
设连接两点A（0，1),B（1，0）的一条凸弧，P（x，y）为凸弧AB上的任意点，已知凸弧与弦AP之间的面积为x^3，求此凸弧的方程。
答案提了梯形的面积：x/2{1+f(x)}，不知道梯形为什么这么表达啊
题目意思有两种不同理解有争议，如果凸弧专指上凸弧，则如以下的（1），如果凸弧指上凸弧和下凸弧，则如以下的（1）（2），不同的教材说法不同，楼主自行斟酌 令y＝f(x)，0≤x≤1，要求凸弧故f''(x)恒正或恒负 梯形下底OA＝1，上底PH＝f(x)，高为OH＝x，梯形面积S1＝x/2[1+f(x)] 则凸弧与PH、OH、OA间的面积S2＝∫f(t)dt 由题意有 ∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3或∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝-x^3 （１）凸弧上凸，∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3 两边微分，f(x)-1/2[f(x)+1+xf'(x)]＝3x^2 f'-(1/x)f＝-6x-1/x 按公式或先求齐次再常数变易法求得通解 f(x)＝-6x^2+1+cx 初始条件f(1)＝0，-6+1+c＝0，得c＝5，凸弧为f(x)＝-6x^2+5x+1 （2）凸弧下凸，∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝-x^3 两边微分，f(x)-1/2[ f(x)+1+xf'(x)]＝-3x^2 f'-(1/x)f＝6x-1/x f(x)＝6x^2+1+cx 初始条件f(1)＝0，6+1+c＝0，得c＝-7，凸弧为f(x)＝6x^2-7x+1 综上所述，所求凸弧有两条，分别为 f(x)＝-6x^2+5x+1和f(x)＝6x^2-7x+1。
答：看图````````````````详情>>
答：详情>>
