首先有一个重要不等式
n! ≥ n^(n/2)
简单证明如下：
∵(k - 1)(k - n) ≤ 0 (1 ≤ k ≤ n)
k^2 - kn - k n ≤ 0 (1 ≤ k ≤ n)
k * (n 1-k) ≥ n (1 ≤ k ≤ n)
∴(n!)^2 = (1 * 2 * 。
。。 * n) * (n * 。。。 * 2 * 1)
= (1 * n) * (2 * (n-1)) * 。。。 (k * (n 1-k)) * 。。。
* (n * 1)
≥ n^n 两边开方得n! ≥ n^(n/2)
从而(n!)^(1/n) ≥ √n
由于n --> ∞时√n --> ∞ 因此 (n!)^(1/n) --> ∞
式中^表示乘方，√表示开方 * 表示乘号。
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