楼主是预习者,我就来照顾一把,因为我自己也是。
证明:必要性:设lim(x->∞)f(x)=A,则由x->∞情形的极限的定义可知,对于任意给定的正数ε,总存在正数X,使得当|x|>X(即x>X或xX时,(1)恒成立,所以由x->+∞情形的极限的定义,有
lim(x->+∞)f(x)=A,
又因为当x-∞情形的极限的定义,有
lim(x->-∞)f(x)=A。
充分性:(i)设lim(x->+∞)f(x)=A,则由x->+∞情形的极限的定义可知,对于任意给定的正数ε,总存在正数X_1,使得当x>X_1时,恒有
|f(x)-A|-∞)f(x)=A,则由x->-∞情形的极限的定义可知,对于上面任意给定的正数ε,总存在正数X_2,使得当xX时,不等式(2)恒成立。
所以由x->∞情形的极限的定义可知,
lim(x->∞)f(x)=A。
注:对于必要性的证明,一般人们往往写成"必要性显然",在这里由于楼主是预习者,我们就把证明写得详尽些。
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