数学
设f(x)在【0,1】上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,其二阶导数的绝对值小于等于b其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点,证明f(x)的一阶导数的绝对值小于等于2a+b/2
按照上下文判断,题目似乎应改正为:“c是(0,1)内任意一点,证明f(x)在c点的一阶导数的绝对值小于等于2a+b/2.”否则,题目中的c在结论中没有出现,不够合理.请出题者再审核一下. 如果是上述那样,证明如下: 证: 对f(x)在点c的邻域进行Taylor展开 f(1)=f(c)+ f'(c)(1-c)+1/2 f"(d1)(1-c)^2, f(0)=f(c)+ f'(c)(0-c)+1/2 f"(d2)(0-c)^2, 其中d1为1与c之间的某点,d2为0与c之间的某点.两式相减得 f(1)-f(0)= f'(c)+1/2(f"(d1)(1-c)^2-f"(d2)(0-c)^2), 由此得 |f'(c)|=|f(1)-f(0)-1/2(f"(d1)(1-c)^2-f"(d2)(0-c)^2)| ≤|f(1)|+|f(0)|+1/2(|f"(d1)|(1-c)^2+|f"(d2)|(0-c)^2) ≤2a+1/2b((1-c)^2+(0-c)^2) ≤2a+b/2. 证毕. 。
答:题目有误!f(x)=sin2πx就是一个反例! 题目结论应改为: 存在t∈(0,1),使得f''(t)≥8。 证明:设c是f(x)在[0,1]上的一个最小值点,...详情>>
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