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2022-04-26 01:32:57

•   n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：
  1。n阶方阵存在n个线性无关的特征向量
  推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
  2。如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数
  现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的。
    
  在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa。
  假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai。令矩阵P=[a1 a2 。。。 an]
  这样以来AP=A*[a1 a2 。
    。。 an]=[A*a1 A*a2 。。。 A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 。。。 λn*an]=P*B,其中B是对角阵。
  B＝
  λ1 0 0 。。。
  0 λ2 0 。。。
  。
    。。 。。。 。。。 。。。
  0 0 0 λn
  由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是
  A＝P*B*P-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了。
    
  在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：
  P是怎么构成的?P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间。
  P要满足可逆。什么情况下P可逆?
  矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下P可逆?
  如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P；
  但是如果A有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根。
    我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解。如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在。

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  M***

  2022-04-26 01:32:57

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2011-05-22 21:52:10

• “P-1AP=对角阵”为相似对角化；“PTAP=对角阵”为合同对角化。
  相似对角化，有以下等价命题：
  A可对角化 充要条件是 A有n个无关的特征向量
   充要条件是 	A的所有的代数重数与几何重数相同。
   充要条件是 A的属于不同特征值的特征子空间的维数和等于n
   充要条件是 A初等因子全是一次的
   充要条件是 A的最小多项式是一次因式的积
  本问题应该为相似对角化。
  

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  x***

  2011-05-22 21:52:10

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2011-05-12 14:00:23

• 是“P-1AP=对角阵”

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  u***

  2011-05-12 14:00:23

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