已知锐角△ABC的三边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F,在? 爱问知识人

已知锐角△ABC的三边BC

已知锐角△ABC的三边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F,在EF、FD、DE的延长线上分别取点P、Q、R,若AP=BQ=CR,证明:△PQR的外心为△ABC的垂心.

s***

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证明:
设△ABC的三条高分别为AL、BM、CN,
垂心为H,
EF与AL交于点K,
则:
AP^2=PK^2+AK^2
=PH^2-KH^2+AK^2
=PH^2+(AK+KH)(AK-KH)
=PH^2+AH*HL.
同理可得,
BQ^2=QH^2+BH*HM,
CR^2=RH^2+CH*HN.
∵AP=BQ=CR,
且AH*HL=BH*HM=CH*HN,
∴PH=OH=RH,
故H为△PQR的垂心.
注:无论H在KL上还是在AK上,均有
(AK+KH)(AK-KH)=AH*HL.

柳***

2011-04-04 14:04:07

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设△ABC的垂心为H，AH∩EF=X，BH∩FD=Y，CH∩DE=Z，
AP^2-HP^2=AX^2-HX^2=AF^2-HF^2=BF^2-HF^2=BY^2-HY^2=BQ^2-HQ^2
同理，AP^2-HP^2=CR^2-HR^2
所以AP=BQ=CRPH=QH=RH,证毕。

j***

2011-04-04 14:22:40

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