其他答案

2010-08-04 21:01:55

• 证明：∵a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,
  ∴a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca.
  又∵|a-b|＜c,|b-c|＜a,|c-a|＜b,
  ∴a^2-2ab+b^2＜c^2,b^2-2bc+c^2＜a^2,c^2-2ac+a^2＜b^2,
  ∴a^2+b^2+c^2＜2ab+2bc+2ca,
  即ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2＜2(ab+bc+ca)(1).
  (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,
  将（1）式不等号左右两边同时加上2ab+2bc+2ca,
  得到3ab+3bc+3ca≤a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca＜4ab+4bc+4ca,
  即3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)^2＜4(ab+bc+ca).

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  竹***

  2010-08-04 21:01:55

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2010-08-04 20:08:14

• 证：
  1}对于任意正实数都有a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc,c^2+a^2>=2ca
  三不等式的两边分别相加得到
  2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca
  --->a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca(*)
  两边同时加2ab+2bc+2ca得 (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)
  2)△ABC中 a^2+b^2-c^2=2abcosC,
  0=cosC=2abcosC=2(ab+bc+ca)
  两边同时加2(ab+bc+ca)得到 (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)(**)
  依不等的传递性，由（*）（**）得到
  3(ab+bc_ca)=<(a+b+c)^2<4(ab+bc+ca)证完。

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  y***

  2010-08-04 20:08:14

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