(1)换参数：
令a=5/b，将原题等效为
当b＞0时，五次方程：
(b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1)有几个实根？
(2)设函数:
令f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1)
取导得
f'(x)=5(b^2+6b+25)x^4-5b
由f'(x)=0得f(x)极大值条件:
x(1)=-[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)
得f(x)极大值:
f(x1)=4b[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)-b(b+1)
(3)证不等式:(b＞0)
b+1≥4[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)
⇔(b^2+6b+25)(b+1)^4≥256b
⇔(b^2+6b+25)(b^4+4b^3+6b^2+4b+1)≥256b
⇔b^6+10b^5+55b^4+140b^3+175b^2+106b+25≥256b
⇔b^6+10b^5+55b^4+140b^3+(175b-150)b+25≥0
⇔(b^3+5b^2+15b-5)^2≥0
即明显成立。
(4)确定实根个数:
∵f(x)极大值f(x1)=4b[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)-b(b+1)≤0
∴①当b^3+5b^2+15b-5=0,即
b=-5/3-(2/3)(15√6-35)^(1/3)+(2/3)(15√6+35)^(1/3)
≈0。
3时,
函数f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1)有一个二重实零点和
一个一重实零点。
即五次方程：
(b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1)有一个二重实根和一个一重实根。
②当b≠-5/3-(2/3)(15√6-35)^(1/3)+(2/3)(15√6+35)^(1/3)时,
函数f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1)只有一个一重实零点。
即五次方程：
(b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1)只有一个单实根。
。
全部
