设x,y,z为正实数,求证 (x^2+y^2+z^2)^3>=8[(yz)^3+(zx)^3+(xy)^3]+3(xyz)^2 证明 上式展开为 Σx^6+3Σ(y^2+z^2)x^4+3(xyz)^2-8Σ(yz)^3≥0 设x=min(x,y,z),上式分解为 x^2*(x^2+xy+xz+yz+4y^2+4z^2)*(x-y)*(x-z)+ [y^4+z^4+2yz(y^2+z^2)+6(yz)^2+(3y^2+3z^2+2yz)x^2-4(y+z)x^3](y-z)^2>=0 显然成立.
(x^2+y^2+z^2)^3-8((yz)^3+(zx)^3+(xy)^3)-3(xyz)^2 =∑x^6-2∑y^3z^3+3(xyz)^2+3(∑x^4(y^2+z^2)-2∑y^3z^3) 由均值不等式易知 ∑x^4(y^2+z^2)-2∑y^3z^3>=0 成立，于是只需证 ∑x^6-2∑y^3z^3+3(xyz)^2>=0 （1） 而由Schur不等式的 ∑x^2(x^2-y^2)(x^2-z^2)>=0 展开得到 ∑x^6+3(xyz)^2>=∑x^4(y^2+z^2) 再由 ∑x^4(y^2+z^2)>=2∑y^3z^3 就有 ∑x^6+3(xyz)^2>=2∑y^3z^3 故（1）式成立，故原不等式得证。
答：设x,y,z为正实数,求证 1/(5x^2+5y^2-xy)+1/(5y^2+5z^2-yz)+1/(5z^2+5x^2-zx) >=1/(x^2+y^2+z^...详情>>
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