设x，y，z为正实数，且xyz=1.求证 （x+y)(y+z)(z+x)≥4(x+y+z-1). (1) 证明:由(1)的全对称性,不妨设x=1.注意到xyz=1,故有 （x+y)(y+z)(z+x)=(x+y)(z^2+xy+yz+zx)≥(x+y)(z^2+3), 于是 （x+y)(y+z)(z+x)-4(x+y+z-1) ≥(x+y)(z^2+3))-4(x+y+z-1) =(x+y)(z^2-1)-4(z-1) =(z-1)[(x+y)(z+1)-4] =(z-1)(xz+yz+x+y-4) =(z-1)(1/y+1/x+x+y-4) =(z-1)[(x+1/x)+(y+1/y)-4] ≥(z-1)(2+2-4) =0. 因此,不等式(1)成立.
你的解答见这里，以下是一位学长证的： 代数不等式 问题 设x，y，z为正实数，xyz=1。求证 （x+y)(y+z)(z+x)>=4(x+y+z-1 ) 证明 设a，b，c为正实数，令x=b/a，y=a/c，z=c/b。将其代入待证不等式等价于 (b/a+a/c)*(a/c+c/b)*(c/b+b/a)≥4*(b/a+a/c+c/b-1) 上式展开整理为 b^3*c^3+c^3*a^3+a^3*b^3+a*b*c*(a^3+b^3+c^3)-4a*b*c*(a^2*b+b^2*c+c^2*a)+6a^2*b^2*c^2≥0 上式乘以2，化简等价于 a*[b(2a-c)^2+c(2b-a)^2+b(a^2+bc+2ca)](b-c)^2+b*[(c(2b-a)^2+a(2c-b)^2+c(b^2+ca+2ab)](c-a)^2+c*[(a(2c-b)^2+b(2a-c)^2+a(c^2+ab+2bc)](a-b)^2≥0 上式显然成立。
问题获得解决。 。
答：问题 设x，y，z为正实数，且xyz=1。求证 （x+y)*(y+z)*(z+x)≥4(x+y+z-1) 证明 设a，b，c为正实数，令x=b/a，y=a/c，...详情>>
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