楼上证得不错,加强形式也好，R前的系数4是最佳的。 下面给出一个推广证明: 设wa,wb,wc;ha,hb,hc分别表示△ABC边BC,CA,AB上的内角平分线和高线,BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,R,r,s,△分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，I,G是△ABC的内心和重心． 所证不等式等价于: wa*ma/ha+wb*mb/hb+wc*mc/hc≥3(R+r) (1) (1)式推广为: 定理 设P是△ABC平面上一动点。
则 wa*PA/ha+wb*PB/hb+wc*PC/hc≥2(R+r) (2) 先介绍两个引理。 引理1 设P,Q是△ABC平面上两动点。则 a*PA*QA+b*PB*QB+c*PC*QC≥abc (3) 当Q与内心I重合时得: a*PA*AI+b*PB*BI+c*PC*CI≥abc (4) 引理2 设P是△ABC平面上一动点。
则 aPA+bPB+cPC≥4△ (5) (2)式等价于 a*wa*PA+b*wb*PB/hb+c*wc*PC≥4△(R+r) (6) ∵wa≥AI+r, wb≥BI+r, wc≥CI+r ∴a*wa*PA+b*wb*PB/hb+c*wc*PC ≥a(AI+r)PA+b(BI+r)PB+c(CI+r)PC =a*PA*AI+b*PB*BI+c*PC*CI+r(aPA+bPB+cPC) ≥abc+4r△=4△(R+r)。
(2)式得证。 左(2)式中,取P与重心G重合,即得(1)。 。
上述不等式可加强为 ma/cos(B/2-C/2)+mb/cos(C/2-A/2)+mc/cos(A/2-B/2)≥4R+r. (1) 设wa,wb,wc;ha,hb,hc分别代表△ABC边BC,CA,AB上的内角平分线和高,BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,△表示△ABC的面积． (1)式等价于： wa*ma/ha+wb*mb/hb+wc*mc/hc≥4R+r (2) ∵wa*ma≥s(s-a); wb*mb≥s(s-b); wc*mc≥s(s-c). ∴wa*ma/ha+wb*mb/hb+wc*mc/hc ≥s(s-a)/ha+s(s-b)/hb+s(s-c)/hc =s[a(s-a)+b(s-b)+c(s-c)]/(2△) =2sr(4R+r)/(2△)=4R+r.
答：我们有如下恒等式: ha/(wa)^2+hb/(wb)^2+hc/(wc)^2=1/R+1/2r 而ha/wa=<1,hb/wb=<1,hc/wc=<1.所以 ...详情>>
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