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一道导数数学题!!

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一道导数数学题!!

利用导数证明1+2*2+3*2^2+4*2^3+.....+n*2^(n-1)=(n-1)2^n+1

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  • 2007-12-24 21:16:01
    设f(x)=x+x^2+x^3+...+x^n
    f'(x)=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
    f'(2)=1+2×2+3×2^2+...+n×2^(n-1)
    又f(x)=x×[1-x^n]/(1-x)=[x-x^(n+1)]/(1-x),所以,
    f'(x)=[(1-(n+1)x^n)×(1-x)+x-x^(n+1)]/(1-x)^2=1-(n+1)x^n+nx^(n+1)
    f'(2)=(n-1)×2^n+1
    所以,1+2×2+3×2^2+...+n×2^(n-1)=(n-1)×2^n+1

    日***

    2007-12-24 21:16:01

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