已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,,当时,,且存在非零常数使恒成立.若数列...
已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,,当时,,且存在非零常数使恒成立.
若数列是等差数列,求的值;
求证:数列为等比数列的充要条件是.
已知,,且,数列的前项是,对于给定常数,若的值是一个与无关的量,求的值.
由,,得出,又,得出充分性可直接证明,等比为;必要性中由等比数列可得数列是以为首项,公比为的等比数列,再根据和进行讨论。确定是等比数列,是等差数列,求出,代入,求出的值。 解:由已知,,,得,,由数列是等差数列,得,所以,,),,得。
(分)充分性证明:若,则由已知,得,所以,是等比数列。 (分)必要性证明:是等比数列,设公比为,则有,由及得又,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以,当时,(分)若,,对也成立。
数列是公差为的等差数列,不可能是等比数列,所以,,,对也成立。所以,由数列是等比数列知,,即,即对任意非零实数都成立。综上可得:数列为等比数列的充要条件是。(分)由()知,数列是首项为,公比为的等比数列,即,是一个常数,故数列是等差数列,设公差为,依题意,,当且仅当或时,是一个与无关的常数,不成立,所以,即,。
(分) 本题是数列与函数的综合题,综合性比较强,综合考查了等差等比数列以及充分必要条件的证明,其中注意分类讨论思想,应该熟练掌握灵活运用。
问：复变函数若函数f(z)在区域D内解析，并满足下列条件之一，求证：f(z)必为常数： (1)v=u^2 (2)argf(z)在D内为常数 (3)au+bv=c(a,b,c为不全为零的实常数)
答：（3）单独证明，（2）利用（3）的结论。详情>>
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