已知,函数,(为自然常数).()求证:;()若且恒成立,则称函数的图象为函数,的...
已知,函数,(为自然常数).
()求证:;
()若且恒成立,则称函数的图象为函数,的"边界".已知函数,试判断"函数,以函数的图象为边界"和"函数,的图象有且仅有一个公共点"这两个条件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数,的值;若不能同时成立,请说明理由.
把两个函数相减构造新函数,求函数的导数,使得导数大于,得到函数的函数的单调区间,求出函数的最小值,最小值等于,得到两个函数之间的大小关系。
构造新函数,恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,利用导数求出新函数的单调区间和最值,求出两个函数同时成立时,的值。
解:证明:记,
则,
令,注意到,可得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增。
,即,
。
由知,对恒成立,当且仅当时等号成立,
记,则
"恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,
即对恒成立,当且仅当时等号成立,
所以函数在时取极小值,
注意到,
由,解得,
此时,
由知,函数在上单调递减,在上单调递增,
即,,
综上,两个条件能同时成立,此时,。
本题考查函数的导数在最值中的应用,解题的关键是构造新函数,利用函数恒成立的思想解决问题,注意本题的运算也比较多,不要在这种运算上出错。
问：已知函数已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间.
答：1. 半周期T/2=(π/2)-(-π/3)=5π/6, ∴ T=5π/3, ω=2π/T=6/5, A=(ymax-ymin)/2=(3-0)/2=1.5=b...详情>>
答：详情>>
