已知数列满足,存在常数(与无关),使得恒成立,则称数列是和谐数列.已知各项均为正...
已知数列满足,存在常数(与无关),使得恒成立,则称数列是和谐数列.
已知各项均为正数的等比数列,为其前项和;且,,求证:数列是和谐数列;
已知各项均为正数,公比为的等比数列,为其前项和,求证:是和谐数列的充要条件为:.
由等比数列的通项公式和前项和公式由已知条件求出首项和公比,由此求出,得到存在常数,使得恒成立,从而能证明数列是和谐数列。
先证明充分性:已知等比数列,且,则。再证明必要性:已知等比数列,各项均为正数,是其前项和,是和谐数列。
由此能证明:是和谐数列的充要条件为:。
(本小题满分分)
证明:设等比数列的公比是,则,
且,解得,
(分)
又,
存在常数,使得恒成立。
数列是和谐数列。(分)
证明:充分性:已知等比数列,且,
则
令,则,
,
是和谐数列。(分)
必要性:已知等比数列,各项均为正数,是其前项和,
是和谐数列,,。
下面反证法证明:(分)
若,则,不存在使对于恒成立;(分)
若,则,
对于给定的正数,
令,,
即当时,总有
即即存在常数,使得对于恒成立。
综上所述:是和谐数列的充要条件为:。
(分)
本题考查数列的和谐数列的证明,考查是和谐数列的充要条件为:的证明,解题时要认真审题,注意反证法的合理运用。
答：a=1/2 b=0 1/2=x 解得c>=1/2详情>>
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