已知函数的定义域为,其中常数,为自然对数的底数.若函数是增函数,求实数的取值范围...
已知函数的定义域为,其中常数,为自然对数的底数.
若函数是增函数,求实数的取值范围;
求证:;
设表示函数的导函数,,求函数在区间内的零点个数.
若函数是增函数,则必要导数,由此不等式即可解出实数的取值范围;
由题意求证,可解出函数在区间上的最小值,由此最小值与作比较即可证明此不等式;
由题意先解出的解析式,由所得的解析式,及零点判定定理知,可研究此函数在区间两个端点值的符号及区间内函数最值的符号,由定理判断出零点个数即可
解:,,(分)
或,(分)
若函数是定义域上的增函数,知的取值范围是。
(分)
由知函数的增区间为与,减区间为,
从而函数在区间上有唯一的极小值,(分)
但(),
故函数在区间上的最小值为,(分)
因为,所以。(分)
函数的图象是开口向上,对称轴为的抛物线,
且,,。
函数在区间内有两个零点;(分)
当时,,,又由可知,函数在区间内只有一个零点;(分)
当时,,,可知,函数在区间内只有一个零点。(分)
综上,当时,函数在区间内有两个零点;
当或时,函数在区间内只有一个零点。
(分)
本题考查导数在最值问题中的运用,利用导数研究单调性,再利用单调性求最值,这是导数的重要运用,解答本题,第一小题关键是理解导数与函数单调性的关系,第二小题关键是将证明不等式问题转化为利用导数解出函数的最值,从而证明不等式,第三题解题的关键是理解零点定理及函数区间内函数最值的判断,本题考查了转化的思想分类讨论思想等,由于本题运算量较大,易因运算导致错误,解题时要严谨。
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