欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783) 著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支. 著名的七座桥问题也是他解决的。 他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。 欧拉公式有两个： 一个是关于多面体的： 如凸多面体面数是F，顶点数是V，棱数是E，则V-E+F=2；这个2就称欧拉示性数。 另一个是关于级数展开的： e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，i的平方=-1。
欧拉公式：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，这个公式需要用无穷级数来证明。
如果凸多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则F+V=E=2
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，i的平方=-1。
欧拉公式一般用以称呼以下两个著名的公式： 上面这个简单的公式里面包涵了五个数学中最重要的常数。 V-E+F=2 V，E，F分别是简单多面体的顶点数，棱数，面数。 欧拉 欧拉公式 著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过。
他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家。在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表。其论著几乎涉及所有数学分支。他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位。
在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式。 多面体 多面体的定义 若干个平面多边形围成的几何体 (1) (2) (3) ( 4 ) ( 5 ) 多面体的有关概念 多面体的面 棱 顶点 凸多面体 把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体 多面体的分类 四多面体 五多面体 六多面体等 多面体 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体。
(1) (2) (3) 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 多面体 (6) ( 7 ) ( 8 ) 简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体 ( 5 ) 讨论 问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表 (1) (2) (3) 图形编号 顶点数V 面数F 棱数E (1) (2) (3) (4) 规律: V+F-E=2 4 6 4 8 6 12 6 8 12 20 12 30 (欧拉公式) (4) ( 6 ) ( 5 ) 问题1: (2)数出下列多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表 5 8 5 7 8 12 图形编号 顶点数V 面数F 棱数E (5) (6) V+F-E=2 (欧拉公式) 简单多面体 讨论 问题2:如何证明欧拉公式 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 讨论 思考1:多面体的面数是F,顶点数是V,棱数是E,则平面图形中的多边形个数,顶点数,边数分别为 思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形,各个面的内角总和是多少 (n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800 思考3: n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系 n1+n2+···+nF =2E F,V,E。
问题2:如何证明欧拉公式 讨论 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 多边形内角和=(E-F)·3600 思考4:设平面图形中最大多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少 2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600 ∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600 问题2:如何证明欧拉公式 讨论 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 V+F-E=2 欧拉公式 问题3:欧拉公式的应用 例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。
C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少 解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个。
由题意有顶点数V=60,面数=x+y,棱数E= (3×60) 根据欧拉公式,可得 60+(x+y) - (3×60)=2 另一方面,棱数也可由多边形的边数来表示,即 (5x+6y)= (3×60) 由以上两个方程可解出 x=12,y=20 答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个。
例2,有没有棱数是7 的简单多面体 解:假设有一个简单多面体的棱数E=7。 根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4,面数F≥4,所以只有两种情形: V=4,F=5 或 V=5,F=4。 但是,有4 个顶点的多面体只有4个面,而四面体也只有四个顶点。
所以假设不成立,没有棱数是7 的简单多面体 。
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