A=r/||r||^3,r=(x,y,z)。
I=∫∫{S}A•ndS,S为光滑封闭曲面。
有:I=∫∫{S}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)
1。若原点在S外,内,
则显然有I=0,4π。
  
2。原点在S上,将S绕原点旋转为S',使S'在原点的法向量平行z轴。
由于S绕原点旋转为S',则||r||^3,r•n,dS都不变,所以
A•ndS不变==>
I=∫∫{S'}A•ndS。
因此可设在原点,S法向量平行z轴。
  
3。曲面R(t)为圆点=原点,半径=t的上半球面的上侧。
显然有
∫∫{R(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
=∫∫{R(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/t^3=
=2π
4。
  曲面S(t)={(x,y,z)∈S,||(x,y,z)||≥t}
==>
I=∫∫{S}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
Lim{t→0}∫∫{S(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)
5。
  设S(t)和U(t)构成封闭曲面,
其中U(t)为圆点=原点,半径=t的球面的一部分。
可以设原点在S(t)和U(t)构成封闭曲面外,
且U(t)的主要部分在上半球面。
现设U(t)取上侧,所以S(t)和U(t)构成封闭曲面=
=S(t)-U(t)=∑(t)
∫∫{S(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
=∫∫{∑(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)+
+∫∫{U(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
=∫∫{U(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)。
  
6。∫∫{U(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
=∫∫{R(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)+
+[∫∫{U(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)-
-∫∫{R(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]=
=2π+∫∫{V(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)],
其中从集合的角度
V(t)=R(t)∪U(t)-R(t)∩U(t)
7。
  S的方程在原点附近可写为:
z=F(x,y),
S为光滑封闭曲面,且在原点,S法向量平行z轴。
==>z=F(x,y)=o([(x^2+y^2)]^(1/2)]),
==>z=o(||r||)
8。|∫∫{V(t)}[xdydz]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]|=
=|∫∫{V(t)}[xdydz]/t^3≤
≤2[V(t)在yoz面的投影的面积]/t^2,
而V(t)在yoz面的投影在一个宽为2t,高为o(t)的矩形中
所以
|∫∫{V(t)}[xdydz]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)≤o(t)/t=o(1)
==>
Lim{t→0}∫∫{V(t)}xdydz/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]=0
同理
Lim{t→0}∫∫{V(t)}ydzdx/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]=0
9。
  |∫∫{V(t)}[zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]|=
=|∫∫{V(t)}[zdxdy]/t^3≤
≤2o(t)[V(t)在yoz面的投影的面积]/t^3,
而V(t)在yoz面的投影在
圆点=原点,半径=t的圆中。
  
==>
|∫∫{V(t)}[zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]|≤o(1)
==>
Lim{t→0}∫∫{V(t)}zdxdy/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)]=0
由6。==>
Lim{t→0}∫∫{U(t)}[xdydz+ydzdx+zdxdy]/[x^2+y^2+z^2]^(3/2)=
=0
由4。
  ,5。==>I=2π。