求微分方程通解y''-5y'+6y=xe^(2x) 爱问知识人

求微分方程通解

y''-5y'+6y=xe^(2x)

3***

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解：直接套公式, 特征根为2, 3
通解为：
y=C1e^(2x)+C2e^(3x)-e^(2x)*∫xdx+e^(3x)*∫xe^(-x)dx
`=C1e^(2x)+C2e^(3x)-x²e^(2x)/2-(x+1)e^(2x)
`=C1e^(2x)+C2e^(3x)-e^(2x)*(x²+2x+2)/2

絕***

2012-11-21 17:51:55

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对应齐次方程的特征方程为 r^2-5r+6=0，特征根为 r1=2，r2=3.
对应齐次方程的通解为Yc=C1*e^(2x)+C2*e^(3x)。
自由项中α=2是单重特征根，所以原非齐次方程的一个特解可设为
Yp=x(ax+b)e^(2x)
代入原非齐次方程可得 a=-1/2，b=-1，即Yp=[(-1/2)x^2-x]e^(2x)，
得到原非齐次方程通解为
y=Yc+Yp=C1*e^(2x)+C2*e^(3x)-[(1/2)x^2+x]e^(2x)。

山***

2012-11-21 18:16:22

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