解：
|λE-A|=(λ-1)³(λ+3)     这个输入起来很麻烦，您可以慢慢按行展开来计算
所以A的特征值是1(3重)以及-3
对于特征值1,求得齐次线性方程组(1E-A)X=0的一个基础解系为
ξ1=1      ξ2=1      ξ3=-1
   1         0          0
   0         1          0     
   0         0          1
用格拉姆施密特正交法把ξ1,ξ2,ξ3正交化
令α1=ξ1
  α2=ξ2-(ξ2,α1)/(α1,α1)*α1=1/2
                            -1/2
                            1
                            0
  α3=ξ3-(32,α1)/(α1,α1)*α1-(ξ3,α2)/(α2,α2)*α2=-1/3
                                                1/3
                                                1/3
                                                 1
把α1,α2,α3单位化得：
η1=(√2)/2        η2=(√6)/6        η3=-(√3)/6
   (√2)/2           -(√6)/6           (√3)/6
      0              (√6)/3            (√3)/6 
      0                 0               (√3)/2
对于特征值-3,求得齐次线性方程组(-3E-A)X=0的一个基础解系为:
ξ4=1           单位化得η4=1/2
   -1                     -1/2
   -1                     -1/2
   1                       1/2
因此所求的正交矩阵为
T=(√2)/2      (√6)/6      -(√3)/6      1/2
  (√2)/2      -(√6)/6      (√3)/6      -1/2
     0         (√6)/3       (√3)/6      -1/2 
     0            0          (√3)/2      1/2
并且有
T逆AT=diag(1,1,1,5)。